martes, 11 de abril de 2017

¿Qué son los números?: De Fibonacci, Φ (Phi), Primos (P)

"Las verdades aritméticas rigen el dominio de lo numerable. 
Éste lo abarca todo, pues no sólo le pertenece lo real, 
no sólo lo intuible, sino también todo lo pensable. 
¿No deberían estar, pues, las leyes de los números 
en íntima conexión con las del pensamiento?"
Gottlob Frege: "Die Grundlagen der Arithmetik" (1884) 
 Fundamentos de la Aritmética. Investigación sobre el concepto de número.

video
Extracto de "Simetrías del Universo", de serie Redes, TVE2

¿Números reales ℝ?, ¿Qué son las realidades matemáticas?, ¿Objetos reales, formales o nominales?, ¿Qué son los conjuntos de números?, ¿Conjuntos de números reales versus imaginarios?, ¿Conjuntos de números racionales versus irracionales?, ¿Qué son los números Complejos (ℂ), los primos (ℙ), los naturales (ℕ), los enteros (ℤ) o los Irracionales (I)? Preguntas básicas, de la fundamentación lógica y epistemológica de una aritmética simple y de una teoría de los números.
Los enteros toman del término alemán: "Número": "Zahl", la letra ℤ, que los representa universalmente, así como los Naturales, se representan con ℕ, los racionales con  ℚ, los reales con ℝ, los complejos con , y los irracionales representados con I. El número imaginario, tiene como notación: i .


Números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son números enteros en una secuencia caracterizada por el hecho de que cada número siguiente de la serie, es la suma de los dos anteriores. A esto se le llama secuencia de Fibonacci, por haber sido descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci, aunque ya estaba descrita en la matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita. 


Los números de Fibonacci estarán dados por la fórmula:  

F (n) = F (n-1) + F (n-2) con F (0) = 0 y F (1) = 1

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169


Secuencia de cuadrados de números de Fibonacci

 Espiral de secuencia Fibonaci

Número Fi, número áureo
 
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número algebraico irracional representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias; y representa la proporción que existe entre dos segmentos, tales que el segmento menor es al mayor lo que el mayor es a la totalidad. La fórmula es: (A/B)=(A+B)/A Tal proporción corresponde al Número Áureo o Phi (φ): 1,618. De manera que el segmento AB es 1,618 veces A, y A es 1,618 veces B. Es un número irracional: 
1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462
8189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800
607667263544333890 8659593958290563832266131992829026788067520…
Rectángulo áureo
En un cuadrado se agrega  un punto medio en uno de sus lados, luego se une con uno de los vertices del cuadrado y por ultimo se traslada esta distancia hacia alguno de los lados a partir del punto dibujado. Se obtienen entonces gráficamente un rectángulo con proporciones áureas.


 Ángulo áureo
 
El primero en hacer un estudio formal del número áureo
fue Euclides (c. 300-265 a.e.c.), quien lo definió de la siguiente manera: "Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". (Euclides Los Elementos. Definición 3 del Libro Sexto.) Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

 
Espiral áurea 

Relación entre número áureo y secuencia de Fibonacci
 Según el astrónomo del siglo XVII: Johannes Kepler, si se dividen números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, estos se aproximan al número 1,618033… que es el número áureo. La división entre los números de Fibonacci se acercan asintóticamente al número áureo, así: 21, 34, 55, 89, 144…, la división explicada por Kepler sería así: 34/21 = 1.69047619 , 55/34 = 1.67647059, 89/55 = 1.6181818, 144/89 = 1,617977528.


Leonardo Da Vinci se apega a una retícula basada en la proporción áurea
en La Gioconda, el rostro encaja perfecto en un rectángulo áureo
 y las partes de la cara a su vez se componen
 de rectángulos o proporciones áureas.

Proporción entre las espirales de Fibonacci y las Áureas
Es posible lograr una aproximación al número áureo a partir de la sucesión de Fibonacci, que permite describir con bastante precisión, multiplicidad de fenómenos naturales, desde los huracanes a las formas de distintas flores. Se logra por medio de una operación sobre los pares de números consecutivos en la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, calculando en casa paso el cociente entre un valor y el anterior (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …). El valor de la división se va aproximando cada vez más al número áureo: 1.61803398874989484820458…


 Espiral de la concha de un Nautilus, comparado a una espiral áurea
 
La espiral de la concha del Nautilus no es una espiral áurea exacta.
No obstante sus dimensiones de crecimiento se mantienen cercanas a la proporción de áurea.  Al igual que con todos los los otros organismos vivos, hay variaciones en las dimensiones de los individuos, por lo que la aparición de la proporción áurea no es necesariamente universal, y se trata de aproximaciones.

Números Primos
 

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1 y por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. 

Los 168 números primos menores de 1000 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
 

domingo, 8 de mayo de 2016

Gauss, de lo real a lo imaginario

Gauss, de lo real a lo imaginario
(Episodio 5 , El Universo Matemático, TVE)
Gauss: el príncipe de los matemáticos
 Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. 
Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo. Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto allí aparece Ceres. 
Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. 
En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.
 

Breve historia de los números y las cifras decimales

Las cifras, un viaje en el tiempo
(Episodio 3 , El Universo Matemático, TVE)
Al-Juarismi (780 -850)
Matemático, astrónomo y geógrafo, quien escribió:
"Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", (حساب الجبر و المقابلة)
en donde aparecen los términos matemáticos como:
álgebra, guarismo y algoritmo (emulando su nombre).
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Con la llegada del euro volverán los céntimos y unos viejos conocidos van a adquirir un protagonismo social que no tenían desde hace mucho tiempo: los números decimales. Unos números que, a pesar de la creencia popular de que existen desde los comienzos de las matemáticas, sólo llevan entre nosotros cuatro siglos. Y es que la historia de los números es más compleja de lo que sospechamos. 
A lo largo del programa haremos una excursión por el tiempo para descubrir la historia de las cifras. Descubriremos las cifras y la forma de utilizarlas de babilonios, egipcios, griegos y romanos hasta llegar hasta nuestras populares 10 cifras: 1, 2, 3, 4, 5... Pero incluso estas cifras heredadas de los árabes no siempre han sido la herramienta habitula para calcular. Conoceremos las aventuras de estos símbolos desde su nacimiento hasta nuestros días, en que sin duda son los símbolos más universalmente utilizados. 
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Universo matemático es una colección de diez documentales de 24 minutos de duración cada uno de índole matemática, producida en el año 2000 por el programa La aventura del saber, de La 2 de Televisión Española. El autor, guionista y presentador es el matemático Antonio Pérez Sanz, y la realizadora Ana Martínez. La serie documental fue galardonada con el Premio a la divulgación científica en el Festival Internacional Científico de Pekín.
 

viernes, 29 de abril de 2016

Historias de π (pi)

Historias de π (pi)

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es pi (∏), que tiene un valor de 3,141592... (se representa por la letra griega minúscula pi, cuyo símbolo es ). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está íntimamente ligada al número pi (∏). A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi (∏). Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. 

  π (pi) es la relación entre la longitud 
de una circunferencia y su diámetro. 
Es una constante en geometría euclidiana.

Pero el verdadero padre de es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo: Area igual a Pi (∏) por el radio al cuadrado . Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

 Relación entre un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. 
El área del círculo es:

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Universo matemático es una colección de diez documentales de 24 minutos de duración cada uno de índole matemática, producida en el año 2000 por el programa La aventura del saber, de La 2 de Televisión Española. El autor, guionista y presentador es el matemático Antonio Pérez Sanz, y la realizadora Ana Martínez. La serie documental fue galardonada con el Premio a la divulgación científica en el Festival Internacional Científico de Pekín.

Pitagoras, mucho mas que un teorema

 
Pitágoras, mucho mas que un teorema (Episodio 1)(El Universo matemático, TVE)

Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado.
 Teorema de Pitágoras (Versión aritmo-geométrica)
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Universo matemático es una colección de diez documentales de 24 minutos de duración cada uno de índole matemática, producida en el año 2000 por el programa La aventura del saber, de La 2 de Televisión Española. El autor, guionista y presentador es el matemático Antonio Pérez Sanz, y la realizadora Ana Martínez. La serie documental fue galardonada con el Premio a la divulgación científica en el Festival Internacional Científico de Pekín.

viernes, 18 de marzo de 2016

Fermat, el margen mas famoso de la historia



A principios de siglo XVII un abogado, aficionado a las matemáticas va a lanzar una serie de retos, basados en los números más simples, los enteros, a toda la comunidad matemática. Es Pierre de Fermat. La inspiración para estos retos la encontró en un antiguo libro de matemáticas escrito allá por el siglo III, la Aritmética de Diofanto. En uno de sus márgenes Fermat va a escribir una frase que se convertirá en una de las más atractivas de la historia de las matemáticas. 
Su famoso último teorema: "No existen soluciones enteras para la ecuación cuando es mayor que 2". Fermat afirma que había encontrado la demostración pero por desgracia no le cabe el margen. Una desgracia que ha traído en jaque a los mejores matemáticos durante más de 350 años. Haremos un recorrido histórico por los intentos de demostrar este teorema a lo largo de tres siglos y presentaremos a Wiles, un matemático inglés que en 1994 pasó a la historia... Por fin alguien había conseguido demostrar el "último teorema de Fermat".


Ver también:

lunes, 15 de febrero de 2016

La paradoja de Fermi: ¿se extinguieron hace mucho los extraterrestres? (+vídeo Kurzgesagt)


video

La paradoja de Fermi (versión animada Kurzgesagt)

Imágenes alusivas extraterrestres en el corto animado Fermi Paradox ( Kurzgesagt)
Nota aclaratoria: éste corto, no cita fuentes académicas de su información,
lo cual puede ser considerado plagio académico, y, tampoco cita las fuentes de sus imágenes de extraterrestres. coincidentes con diversos Pokémon, lo cual, 
podría incurrir en faltas a los derechos de autoría, y por ello,
esta publicación divulgativa, no es responsable.

Magnemite de Pókemon 

(plagiado, entre otros, en vídeo de Kurzgesagt )



La paradoja de Fermi:  

planteamiento y soluciones


A mediados de los 50, del siglo XX, el Nobel de física Enrico Fermi planteó una pregunta a sus colegas: "¿Dónde están?". Todos comprendieron que se refería a otras civilizaciones extraterrestres. Su pregunta continúa hoy sin respuesta.
La paradoja de Fermi es la contradicción entre la alta probabilidad de no estar solos en el Universo, y la ausencia de cualquier rastro de vida extraterrrestre.
Trata de responder a la pregunta: «¿Somos los seres humanos la única civilización avanzada en el Universo?». La ecuación de Drake para estimar el número de civilizaciones extraterrestres con las que finalmente podríamos ponernos en contacto parece implicar que tal tipo de contacto no es extremadamente raro. La respuesta de Fermi a esta conclusión es que si hubiera numerosas civilizaciones avanzadas en nuestra galaxia entonces «¿Dónde están? ¿Por qué no hemos encontrado trazas de vida extraterrestre inteligente, por ejemplo, sondas, naves espaciales o transmisiones?». Aquellos que se adhieren a las conclusiones de Fermi suelen referirse a esta premisa como el principio de Fermi.
La paradoja puede resumirse de la manera siguiente: La creencia común de que el Universo posee numerosas civilizaciones avanzadas tecnológicamente, combinada con nuestras observaciones que sugieren todo lo contrario es paradójica sugiriendo que nuestro conocimiento o nuestras observaciones son defectuosas o incompletas.
Un cielo repleto de estrellas parece enorme... pero lo que vemos no es más que nuestro vecindario más próximo. En las mejores noches posibles podemos ver hasta 2.500 estrellas (aproximadamente una cienmillonésima parte de las estrellas de nuestra galaxia), y casi todas ellas están a menos de 1.000 años luz de nosotros (o un 1% del diámetro de la Vía Láctea). Así que a lo que realmente estamos mirando es a esto:
Cuando se enfrentan al tema de las estrellas y galaxias, una pregunta que atormenta a la mayoría de los humanos es: “¿Hay más vida inteligente ahí fuera?”. Veamos algunos números.
Hay tantas estrellas en nuestra galaxia (100.000 - 400.000 millones) como galaxias hay en el universo observable, aproximadamente, así que por cada estrella en la colosal Vía Láctea hay toda una galaxia ahí fuera. Si las sumamos todas llegamos al intervalo típicamente citado de entre 1022 y 1024 estrellas en total, lo que significa que por cada grano de arena en cada playa de la Tierra hay 10.000 estrellas ahí fuera.
El mundo científico no acaba de ponerse de acuerdo sobre qué porcentaje de esas estrellas son de “tipo solar” (similares al Sol en tamaño, temperatura y luminosidad): las opiniones suelen estar entre el 5% y el 20%. Quedándonos con el cálculo más conservador (5%), y el extremo más bajo del número total de estrellas (1022), nos da 500 trillones o 500 millones de billones de estrellas de tipo solar.
También hay un debate sobre qué porcentaje de esas estrellas de tipo solar podrían ser orbitadas por un planeta similar a la Tierra (uno con temperatura y condiciones similares que pudiese tener agua líquida y albergar potencialmente una vida similar a la de la Tierra). Algunos dicen que serían hasta el 50% de ellas, pero vamos a quedarnos con el más conservador 22% que se extrajo de un estudio reciente de la PNAS. Esto sugiere que hay un planeta potencialmente habitable como la Tierra orbitando alrededor de al menos un 1% del total de estrellas del universo —un total de 100 millones de billones de planetas parecidos a la Tierra.
Así que hay 100 planetas análogos a la Tierra por cada grano de arena del mundo. Piensa en ello la próxima vez que estés en la playa.
A partir de aquí no tenemos más remedio que entrar completamente en el terreno de la especulación. Imaginemos que después de millones y millones de años de existencia, un 1% de esos planetas parecidos a la Tierra desarrollan vida (si eso es verdad, cada grano de arena representaría un planeta con vida en él). E imagina que, en el 1% de esos planetas, la vida avanza hasta un nivel inteligente como lo hizo aquí en la Tierra. Esto significa que habría 10.000 billones de civilizaciones inteligentes en el universo observable.
Volviendo a nuestra galaxia y haciendo el mismo cálculo con la estimación más baja de estrellas en la Vía Láctea (100.000 millones), obtendríamos que hay mil millones de planetas análogos a la Tierra y 100.000 civilizaciones inteligentes en nuestra galaxia.
El SETI (Search for Extraterrestial Intelligence, o Búsqueda de inteligencia extraterrestre) es una organización dedicada a prestar atención a las señales de vida inteligente. Si estamos en lo cierto y hay 100.000 civilizaciones inteligentes o más en nuestra galaxia, e incluso si solo una fracción de ellas está enviando ondas de radio o rayos láser u otros modos de intentar contactar con otros, ¿no debería la colección de satélites del SETI estar captando todo tipo de señales?
Pero no lo ha hecho. Ni una. Nunca.
¿Dónde está todo el mundo?
Y la cosa se vuelve aún más extraña. Nuestro sol es bastante joven comparado con la edad del universo. Hay estrellas mucho más viejas con planetas parecido a la Tierra mucho más viejos, lo que en teoría debería haber dado civilizaciones mucho más avanzadas que la nuestra. Por poner un ejemplo, vamos a comparar nuestra Tierra de 4.540 millones de años con un hipotético Planeta X de 8.000 millones de años de edad.
Si el Planeta X tiene una historia parecida a la de la Tierra, veamos en qué punto estaría su civilización a día de hoy (usamos como referencia el periodo naranja para mostrar lo enorme que es el periodo verde):


La tecnología y el conocimiento de una civilización tan solo 1.000 años por delante de nosotros nos resultarían tan chocantes como lo sería nuestro mundo para una persona medieval. Una civilización con un millón de años de adelanto con respecto a la nuestra sería tan incomprensible para nosotros como lo es nuestra cultura humana para los chimpancés. Y el Planeta X nos lleva 3.400 millones de años de ventaja...
Hay algo llamado Escala de Kardashov que nos ayuda a agrupar civilizaciones inteligentes en tres amplias categorías según la cantidad de energía que usan:
Una Civilización Tipo I tiene la habilidad de usar toda la energía de su planeta. Nosotros no llegamos a ser un Tipo I del todo, pero nos quedamos cerca (Carl Sagan creó una fórmula para esta escala que nos sitúa en una civilización Tipo 0,7).
Una Civilización Tipo II puede aprovechar toda la energía de su estrella anfitriona. Nuestros débiles cerebros apenas pueden imaginar cómo se podría hacer esto, pero lo hemos intentado lo mejor que hemos podido, imaginando cosas como la esfera de Dyson.
Una Civilización Tipo III arrasa a las otras dos, accediendo a un poder comparable al de toda la galaxia de la Vía Láctea.
Si este nivel de avance parece difícil de creer, recuerda el Planeta X de antes y sus 3.400 millones de años de desarrollo de ventaja. Si una civilización del Planeta X fuera parecida a la nuestra y hubiera sido capaz de sobrevivir hasta llegar al nivel del Tipo III, lo natural es que probablemente ya hubiera dominado el viaje interestelar, incluso podría haber colonizado toda la galaxia.
Otra hipótesis de cómo podría producirse la colonización galáctica sería creando maquinaria que pueda viajar a otros planetas, pasarse unos 500 años autorreplicándose usando las materias primas del nuevo planeta y después mandar dos réplicas a hacer lo mismo. Incluso sin viajar a una velocidad que no se acerque ni a la de la luz, este proceso colonizaría toda la galaxia en 3,75 millones de años, un relativo abrir y cerrar de ojos cuando hablamos de una escala de miles de millones de años:
Fuente: Scientific American, “Where Are They”
Siguiendo con la especulación, si un 1% de la vida inteligente sobrevive el tiempo suficiente como para llegar a ser una civilización Tipo III colonizadora de galaxias, nuestros cálculos de antes sugieren que debería haber al menos 1.000 civilizaciones Tipo III solo en nuestra galaxia —y teniendo en cuenta el poder de tal civilización, lo más probable es que su presencia fuera bastante notoria. Y, aun así, no vemos nada, no oímos nada y no nos visita nadie.

 Ecuación de Drake