martes, 19 de diciembre de 2017

¿Cómo clasificar triángulos algorítmicamente? ¡Elemental, querido Pitágoras!

Triángulo obtusángulo inscrito en cuadrado con proporciones entre lados

Desde la escuela básica, se enseña que en un triángulo rectángulo, la sumatoria de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. Todo ello requiere de previo saber que un triángulo rectángulo tiene un ángulo rectcto (90 grados) entre catetos 


 Aritmo-geometría del teorema de Pitágoras versus versión algebraica

Conociendo también previamente lo que es el sistema numérico sexagesimal de origen caldeo-babilónico, con grados, minutos, segundos.

 
Cálculo babilónico de la raíz cuadrada de dos a cinco decimales con precisión 

La tableta mesopotámica conocida como Yale YBC 7289, tiene un diagrama de un cuadrado con 30 en un lado, las diagonales están dibujadas y cerca del centro están escritos los números 1,24,51,10 y 42,25,35,  en el sistema sexagesimal babilónicos. 

Así, el cálculo del conocido como Teorema de Pitágoras, que el cuadrado de la hipotenusa es igual al la suma de los los cuadrados de los catetos, asume también por defecto, conocer previamente que los lados menores son los catetos y la hipotenusa el lado más largo, además que el área de la figura geométrica cuadrada proyectada por cada uno de los catetos son áreas que sumadas tienen como resultado al área de la figura geométrica cuadrada proyectada de la hipotenusa, como también, que el cálculo de cada área, es el cuadrado, resultado del producto de un lado multiplicado por sí mismo. Retornando así, a los fundamentos históricos del teorema, con la aritmogeometría pitagórica, que por lo común se ignora, cuando se representa la fórmula algebraica:   a^2 + b^2 = c^2, como enunciado del teorema.

Sumatoria de los cuadrados de los catetos (áreas) 
yuxtapuesta con cuadrado de hiptotenusa (área).

Puede parecer trivial redundar en tales conceptos, pero cómo enseñarle a operar con este teorema, a alguien o algo, que no tiene ninguno de estos conocimientos previos.  Eso sucede, cuando se pretende programar sistemas de cómputo, cada objeto, cada variable, cada procedimiento tiene que ser explícitamente definido desde cero.
 
Teorema de Pitágoras animado, en versión volumétrico-espacial

Entonces para poner a resolver el problema a un sistema de cómputo, se le deben dar las instrucciones paso a paso, como haría un buen profesor con un principiante, con la diferencia, que si el problema no es resuelto, no se culpa al alumno, sino al profesor por no dar las instrucciones correctas. 

Tres tipos de triángulos, por sus lados

Por lo que si se quiere diferenciar el triángulo rectángulo, de aquellos otros triángulos que no lo son, esto es, un acutángulo, con un ángulo menor de 90 grados, o un obtusángulo, mayor de 90 grados, debe definirse una fórmula, un algoritmo, un procedimiento algebraico explícito para cada uno. Una opción tradicional para el cálculo de "c", esto es, la hipotenusa en el triángulo rectángulo; o uno de los lados más largos o el más corto en el acutángulo; o el más largo en el obtusángulo; es el teorema de Pitágoras generalizado, asumiendo que el concepto de catetos e hipotenusa, siguen siendo privativos de los triángulos rectángulos. 


No obstante, se requiere otro procedimiento, para una resolución algorítimica de la clasificación analítica de triángulos. He aquí una estrategia alternativa simple:
  1. Triángulo  rectángulo (90 grados):  a^2 + b^2 - c^2 = 0   esto es, la suma de los cuadrados de los lados menores, menos el cuadrado de la hipotenusa es igual a cero.
  2. Triángulo obtusángulo (Mayor de 90 grado):  a^2 + b^2 - c^2 > 0  esto es, la suma de los cuadrados de los lados, menos el cuadrado del tercer lado (menor o igual a uno de los otros lados) es mayor a cero.  El resultado deber ser un número positivo.   
  3. Triángulo acutángulo (Menor de 90 grados):  a^2 + b^2 - c^2 < 0   esto es, la suma de los cuadrados de los lados, menos el cuadrado del tercer lado (mayor que los otros) es menor a cero.  El resultado debe ser un número negativo.
Estas son simples derivaciones del teorema de Pitágoras, y permiten definir de manera explícita la diferencia entre triángulos, de acuerdo a la previa clasificación, y esto también permite definir un algoritmo de resolución de este problema, es decir, se introducen los valores de los lados del triángulo en a^2+b^2-c^2 y dependiendo si el resultado es 0, positivo o negativo, se obtiene la respuesta al tipo de triángulo qué es. Luego se procede a implementarlo en cualquiera de los lenguajes de programación de alto nivel, y se tiene un programa para realizar este cálculo de manera automática, una tarea básica para programadores principiantes. 

Una forma de programar en el lenguaje C++, un algoritmo de solución al problema, de cómo a partir de los lados de un triángulo, saber si este es rectángulo, acutángulo o obtusángulo, es la siguiente:

#include
using namespace std;
int main()
{
    int a, b, c, A, B, C;
    cout <> a;
    cout <> b;
    cout <> c;
    A = (b*b+c*c-a*a);
    B = (a*a+c*c-b*b);
    C = (a*a+b*b-c*c);
    if(A == 0 || B == 0 || C == 0)
        cout < 0 && B > 0 && C > 0)
        cout << "El triangulo es acutangulo. ";
    if(A < 0 || B < 0 || C < 0)
        cout << "El triangulo es obtusangulo. ";

Debe tomarse en cuenta, que los lenguajes de programación, asumen por defecto tanto los operadores aritméticos tradicionales, como: suma: +, resta: -, multiplicación: *, división /, los relacionales como: mayor que >, menor que <, mayor o igual que >=, menor o igual que <=, igual ==, diferente !=;  y los lógicos, como los condicionales ternarios: Si…entonces (If...else), los binarios como la conjunción && (y/and), la disyunción
|| (o/or) y el unitario de negación ! (no/not); como también principios algebraicos: función o asignación de valores por medio de operaciones como: A=(b*b+c*c-a*a), argumentos (variables como A, B, C) y valores (constantes, como a, b, c).  Además, en este caso, si en cualquiera de los tres formas de tomar el teorema resulta 0 es rectángulo, por lo tanto se usa el operador disyuntivo ||. Para ser acutángulo, las tres formas del teorema deben ser mayores a 0, se usa el operador conjuntivo &&. Con una sola forma del teorema que resulte menor a 0 es obtusángulo, se usa también ||.

martes, 11 de abril de 2017

¿Qué son los números?: De Fibonacci, Φ (Phi), Primos (P)

"Las verdades aritméticas rigen el dominio de lo numerable. 
Éste lo abarca todo, pues no sólo le pertenece lo real, 
no sólo lo intuible, sino también todo lo pensable. 
¿No deberían estar, pues, las leyes de los números 
en íntima conexión con las del pensamiento?"
Gottlob Frege: "Die Grundlagen der Arithmetik" (1884) 
 Fundamentos de la Aritmética. Investigación sobre el concepto de número.

Extracto de "Simetrías del Universo", de serie Redes, TVE2

¿Números reales ℝ?, ¿Qué son las realidades matemáticas?, ¿Objetos reales, formales o nominales?, ¿Qué son los conjuntos de números?, ¿Conjuntos de números reales versus imaginarios?, ¿Conjuntos de números racionales versus irracionales?, ¿Qué son los números Complejos (ℂ), los primos (ℙ), los naturales (ℕ), los enteros (ℤ) o los Irracionales (I)? Preguntas básicas, de la fundamentación lógica y epistemológica de una aritmética simple y de una teoría de los números.
Los enteros toman del término alemán: "Número": "Zahl", la letra ℤ, que los representa universalmente, así como los Naturales, se representan con ℕ, los racionales con  ℚ, los reales con ℝ, los complejos con , y los irracionales representados con I. El número imaginario, tiene como notación: i .


Números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son números enteros en una secuencia caracterizada por el hecho de que cada número siguiente de la serie, es la suma de los dos anteriores. A esto se le llama secuencia de Fibonacci, por haber sido descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci, aunque ya estaba descrita en la matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita. 


Los números de Fibonacci estarán dados por la fórmula:  

F (n) = F (n-1) + F (n-2) con F (0) = 0 y F (1) = 1

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169


Secuencia de cuadrados de números de Fibonacci

 Espiral de secuencia Fibonaci

Número Fi, número áureo
 
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número algebraico irracional representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias; y representa la proporción que existe entre dos segmentos, tales que el segmento menor es al mayor lo que el mayor es a la totalidad. La fórmula es: (A/B)=(A+B)/A Tal proporción corresponde al Número Áureo o Phi (φ): 1,618. De manera que el segmento AB es 1,618 veces A, y A es 1,618 veces B. Es un número irracional: 
1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462
8189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800
607667263544333890 8659593958290563832266131992829026788067520…
Rectángulo áureo
En un cuadrado se agrega  un punto medio en uno de sus lados, luego se une con uno de los vertices del cuadrado y por ultimo se traslada esta distancia hacia alguno de los lados a partir del punto dibujado. Se obtienen entonces gráficamente un rectángulo con proporciones áureas.


 Ángulo áureo
 
El primero en hacer un estudio formal del número áureo
fue Euclides (c. 300-265 a.e.c.), quien lo definió de la siguiente manera: "Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". (Euclides Los Elementos. Definición 3 del Libro Sexto.) Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

 
Espiral áurea 

Relación entre número áureo y secuencia de Fibonacci
 Según el astrónomo del siglo XVII: Johannes Kepler, si se dividen números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, estos se aproximan al número 1,618033… que es el número áureo. La división entre los números de Fibonacci se acercan asintóticamente al número áureo, así: 21, 34, 55, 89, 144…, la división explicada por Kepler sería así: 34/21 = 1.69047619 , 55/34 = 1.67647059, 89/55 = 1.6181818, 144/89 = 1,617977528.


Leonardo Da Vinci se apega a una retícula basada en la proporción áurea
en La Gioconda, el rostro encaja perfecto en un rectángulo áureo
 y las partes de la cara a su vez se componen
 de rectángulos o proporciones áureas.

Proporción entre las espirales de Fibonacci y las Áureas
Es posible lograr una aproximación al número áureo a partir de la sucesión de Fibonacci, que permite describir con bastante precisión, multiplicidad de fenómenos naturales, desde los huracanes a las formas de distintas flores. Se logra por medio de una operación sobre los pares de números consecutivos en la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, calculando en casa paso el cociente entre un valor y el anterior (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …). El valor de la división se va aproximando cada vez más al número áureo: 1.61803398874989484820458…


 Espiral de la concha de un Nautilus, comparado a una espiral áurea
 
La espiral de la concha del Nautilus no es una espiral áurea exacta.
No obstante sus dimensiones de crecimiento se mantienen cercanas a la proporción de áurea.  Al igual que con todos los los otros organismos vivos, hay variaciones en las dimensiones de los individuos, por lo que la aparición de la proporción áurea no es necesariamente universal, y se trata de aproximaciones.

Números Primos
 

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1 y por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. 

Los 168 números primos menores de 1000 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
 

domingo, 8 de mayo de 2016

Gauss, de lo real a lo imaginario

Gauss, de lo real a lo imaginario
(Episodio 5 , El Universo Matemático, TVE)
Gauss: el príncipe de los matemáticos
 Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. 
Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo. Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto allí aparece Ceres. 
Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. 
En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.
 

Breve historia de los números y las cifras decimales

Las cifras, un viaje en el tiempo
(Episodio 3 , El Universo Matemático, TVE)
Al-Juarismi (780 -850)
Matemático, astrónomo y geógrafo, quien escribió:
"Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", (حساب الجبر و المقابلة)
en donde aparecen los términos matemáticos como:
álgebra, guarismo y algoritmo (emulando su nombre).
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Con la llegada del euro volverán los céntimos y unos viejos conocidos van a adquirir un protagonismo social que no tenían desde hace mucho tiempo: los números decimales. Unos números que, a pesar de la creencia popular de que existen desde los comienzos de las matemáticas, sólo llevan entre nosotros cuatro siglos. Y es que la historia de los números es más compleja de lo que sospechamos. 
A lo largo del programa haremos una excursión por el tiempo para descubrir la historia de las cifras. Descubriremos las cifras y la forma de utilizarlas de babilonios, egipcios, griegos y romanos hasta llegar hasta nuestras populares 10 cifras: 1, 2, 3, 4, 5... Pero incluso estas cifras heredadas de los árabes no siempre han sido la herramienta habitula para calcular. Conoceremos las aventuras de estos símbolos desde su nacimiento hasta nuestros días, en que sin duda son los símbolos más universalmente utilizados. 
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Universo matemático es una colección de diez documentales de 24 minutos de duración cada uno de índole matemática, producida en el año 2000 por el programa La aventura del saber, de La 2 de Televisión Española. El autor, guionista y presentador es el matemático Antonio Pérez Sanz, y la realizadora Ana Martínez. La serie documental fue galardonada con el Premio a la divulgación científica en el Festival Internacional Científico de Pekín.
 

viernes, 29 de abril de 2016

Historias de π (pi)

Historias de π (pi)

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es pi (∏), que tiene un valor de 3,141592... (se representa por la letra griega minúscula pi, cuyo símbolo es ). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está íntimamente ligada al número pi (∏). A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi (∏). Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. 

  π (pi) es la relación entre la longitud 
de una circunferencia y su diámetro. 
Es una constante en geometría euclidiana.

Pero el verdadero padre de es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo: Area igual a Pi (∏) por el radio al cuadrado . Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

 Relación entre un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. 
El área del círculo es:

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Universo matemático es una colección de diez documentales de 24 minutos de duración cada uno de índole matemática, producida en el año 2000 por el programa La aventura del saber, de La 2 de Televisión Española. El autor, guionista y presentador es el matemático Antonio Pérez Sanz, y la realizadora Ana Martínez. La serie documental fue galardonada con el Premio a la divulgación científica en el Festival Internacional Científico de Pekín.

Pitagoras, mucho mas que un teorema

 
Pitágoras, mucho mas que un teorema (Episodio 1)(El Universo matemático, TVE)

Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado.
 Teorema de Pitágoras (Versión aritmo-geométrica)
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Universo matemático es una colección de diez documentales de 24 minutos de duración cada uno de índole matemática, producida en el año 2000 por el programa La aventura del saber, de La 2 de Televisión Española. El autor, guionista y presentador es el matemático Antonio Pérez Sanz, y la realizadora Ana Martínez. La serie documental fue galardonada con el Premio a la divulgación científica en el Festival Internacional Científico de Pekín.

viernes, 18 de marzo de 2016

Fermat, el margen mas famoso de la historia



A principios de siglo XVII un abogado, aficionado a las matemáticas va a lanzar una serie de retos, basados en los números más simples, los enteros, a toda la comunidad matemática. Es Pierre de Fermat. La inspiración para estos retos la encontró en un antiguo libro de matemáticas escrito allá por el siglo III, la Aritmética de Diofanto. En uno de sus márgenes Fermat va a escribir una frase que se convertirá en una de las más atractivas de la historia de las matemáticas. 
Su famoso último teorema: "No existen soluciones enteras para la ecuación cuando es mayor que 2". Fermat afirma que había encontrado la demostración pero por desgracia no le cabe el margen. Una desgracia que ha traído en jaque a los mejores matemáticos durante más de 350 años. Haremos un recorrido histórico por los intentos de demostrar este teorema a lo largo de tres siglos y presentaremos a Wiles, un matemático inglés que en 1994 pasó a la historia... Por fin alguien había conseguido demostrar el "último teorema de Fermat".


Ver también: