martes, 11 de abril de 2017

¿Qué son los números?: De Fibonacci, Φ (Phi), Primos (P)

"Las verdades aritméticas rigen el dominio de lo numerable. 
Éste lo abarca todo, pues no sólo le pertenece lo real, 
no sólo lo intuible, sino también todo lo pensable. 
¿No deberían estar, pues, las leyes de los números 
en íntima conexión con las del pensamiento?"
Gottlob Frege: "Die Grundlagen der Arithmetik" (1884) 
 Fundamentos de la Aritmética. Investigación sobre el concepto de número.

video
Extracto de "Simetrías del Universo", de serie Redes, TVE2

¿Números reales ℝ?, ¿Qué son las realidades matemáticas?, ¿Objetos reales, formales o nominales?, ¿Qué son los conjuntos de números?, ¿Conjuntos de números reales versus imaginarios?, ¿Conjuntos de números racionales versus irracionales?, ¿Qué son los números Complejos (ℂ), los primos (ℙ), los naturales (ℕ), los enteros (ℤ) o los Irracionales (I)? Preguntas básicas, de la fundamentación lógica y epistemológica de una aritmética simple y de una teoría de los números.
Los enteros toman del término alemán: "Número": "Zahl", la letra ℤ, que los representa universalmente, así como los Naturales, se representan con ℕ, los racionales con  ℚ, los reales con ℝ, los complejos con , y los irracionales representados con I. El número imaginario, tiene como notación: i .


Números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son números enteros en una secuencia caracterizada por el hecho de que cada número siguiente de la serie, es la suma de los dos anteriores. A esto se le llama secuencia de Fibonacci, por haber sido descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci, aunque ya estaba descrita en la matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita. 


Los números de Fibonacci estarán dados por la fórmula:  

F (n) = F (n-1) + F (n-2) con F (0) = 0 y F (1) = 1

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169


Secuencia de cuadrados de números de Fibonacci

 Espiral de secuencia Fibonaci

Número Fi, número áureo
 
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número algebraico irracional representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias; y representa la proporción que existe entre dos segmentos, tales que el segmento menor es al mayor lo que el mayor es a la totalidad. La fórmula es: (A/B)=(A+B)/A Tal proporción corresponde al Número Áureo o Phi (φ): 1,618. De manera que el segmento AB es 1,618 veces A, y A es 1,618 veces B. Es un número irracional: 
1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462
8189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800
607667263544333890 8659593958290563832266131992829026788067520…
Rectángulo áureo
En un cuadrado se agrega  un punto medio en uno de sus lados, luego se une con uno de los vertices del cuadrado y por ultimo se traslada esta distancia hacia alguno de los lados a partir del punto dibujado. Se obtienen entonces gráficamente un rectángulo con proporciones áureas.


 Ángulo áureo
 
El primero en hacer un estudio formal del número áureo
fue Euclides (c. 300-265 a.e.c.), quien lo definió de la siguiente manera: "Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". (Euclides Los Elementos. Definición 3 del Libro Sexto.) Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

 
Espiral áurea 

Relación entre número áureo y secuencia de Fibonacci
 Según el astrónomo del siglo XVII: Johannes Kepler, si se dividen números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, estos se aproximan al número 1,618033… que es el número áureo. La división entre los números de Fibonacci se acercan asintóticamente al número áureo, así: 21, 34, 55, 89, 144…, la división explicada por Kepler sería así: 34/21 = 1.69047619 , 55/34 = 1.67647059, 89/55 = 1.6181818, 144/89 = 1,617977528.


Leonardo Da Vinci se apega a una retícula basada en la proporción áurea
en La Gioconda, el rostro encaja perfecto en un rectángulo áureo
 y las partes de la cara a su vez se componen
 de rectángulos o proporciones áureas.

Proporción entre las espirales de Fibonacci y las Áureas
Es posible lograr una aproximación al número áureo a partir de la sucesión de Fibonacci, que permite describir con bastante precisión, multiplicidad de fenómenos naturales, desde los huracanes a las formas de distintas flores. Se logra por medio de una operación sobre los pares de números consecutivos en la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17111, 28657, 46638, calculando en casa paso el cociente entre un valor y el anterior (3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …). El valor de la división se va aproximando cada vez más al número áureo: 1.61803398874989484820458…


 Espiral de la concha de un Nautilus, comparado a una espiral áurea
 
La espiral de la concha del Nautilus no es una espiral áurea exacta.
No obstante sus dimensiones de crecimiento se mantienen cercanas a la proporción de áurea.  Al igual que con todos los los otros organismos vivos, hay variaciones en las dimensiones de los individuos, por lo que la aparición de la proporción áurea no es necesariamente universal, y se trata de aproximaciones.

Números Primos
 

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1 y por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. 

Los 168 números primos menores de 1000 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
 

Primos infinitos
 
Euclídes, demostró por reducción al absurdo, que hay infinito números primos. La hipótesis nula planteada, fue que existe un número primo mayor. La alternativa, sería que no existe un número primo mayor, y por ende serían infinitos. Dado que el producto aritmético de números primos, da siempre un número no primo. Esto es 2 x 3 = 6 (divisible), 5 x 7 x 11= 385 (divisible), 443 x 449 = 45790.900.499 (divisible). Si esta secuencia se sigue hasta el primo máximo, entonces no podría existir un primo mayor al primo máximo. Pero basta con sumar uno al número divisible resultante del producto previo de primos, y aparece un número primo mayor que el hipotético número máximo; por lo tanto, la hipótesis nula es falsa  y por ende no existe, la hipótesis alterna es verdadera, no puede existir un número primo mayor, y por lo tanto, son infinitos. 
 Los Elementos de Euclides, escrito alrededor del año 300 a. e.c., un tratado integral sobre la geometría, las proporciones y la teoría de los números, es la obra más duradera de todas las obras matemáticas. Este manuscrito conserva una versión temprana del texto. Se muestra aquí el Libro I Proposición 47, el Teorema de Pitágoras: el cuadrado sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados en los lados. Este es un teorema famoso e importante que recibe muchas notas en el manuscrito.

La Criba de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes Para números primos menores que 120.
Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo.  fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría.

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo o no lo es. Con este método sencillo, Eratóstenes determinó todos los números primos que hay entre los primeros cien números, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.   
 
Teorema de distribución los números primos
 

Los números primos son menos comunes cuanto más grandes son. Entre 1 y 100, los primos son más abundantes, que entre 100 y 1.000, y que entre 1.000 y 100.000, y que entre 100.000 y 1.000.000, y así en lo sucesivo. Es uno de los teoremas más importantes de la historia de las matemáticas, no solo por su belleza sino por su influencia en el desarrollo posterior de la investigación de los números primos. No obstante, no es posible predecir la secuencia de aparición de números primos. 

Los números primos de Pitágoras a Gauss
Bernhard Riemann en 1859, al estudiar como se distribuían los números primos, observó una relación estrecha con una función definida sobre los números complejos, la denominada función zeta de Riemann. Intuyó que existía una cierta correspondencia entre los ceros de esta función (es decir, los puntos donde se anula) y los números primos. Dado que todo número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, Riemann conjeturó que la parte real de todo cero (no trivial) es ½. 

Sin embargo, hasta ahora, y a pesar de los intentos de los mejores matemáticos, nadie ha podido con este problema. Incluso, el padre de la teoría de computabilidad, de las computadoras y de la Inteligencia Artificial, Alan Turing, trató de resolverlo construyendo una máquina para este propósito, pero fracasó. La conjetura se ha convertido en uno de los problemas más interesantes en matemáticas. No sólo  por ser seleccionado por David Hilbert, como uno de los 23 grandes problemas de la metamatemática, que no habían sido aun resueltos a inicios del siglo XX, sino también que ha merecido ser elegido como uno de los siete problemas del milenio, por el Instituto Clay de Matemáticas y con un millón de dólares para quien consiga desvelar el misterio. El propio Hilbert, al ser preguntado  qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada.
 
Números primos, algoritmia y criptografía
 
Además de su interés matemático, los números primos son muy importantes en las comunicaciones digitales. El algoritmo criptográfico RSA desarrollado por Ronal Rivest, Adi Shamir y Leonar Adleman en 1977, está basado precisamente en el problema de la factorización de números enteros en números primos. Los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto.

Como en todo sistema de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada. Esto se basa en un teorema de otro gran matemático, Leonard Euler (Teorema Euler-Fermat). Para romper la clave sería necesario encontrar los factores primos, pero, descomponer un número en sus factores, cuando estos tienen alrededor de 100 dígitos, es una verdadera tarea titánica.


RSA será seguro mientras no se conozcan formas rápidas de descomponer un número grande en producto de primos. La computación cuántica podría proveer de una solución a este problema de factorización.

 El algoritmo criptográfico RSA se utiliza para intercambiar información de forma segura en Internet, cómo en el uso de "tokens", para accededer a cuentas bancarias. 





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